微积分学示例

$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{x - 3}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

根据加法法则， ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 13.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 14

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 15

将 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 16

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 18

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 19

化简表达式。

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解题步骤 19.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2

化简分子。

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解题步骤 20.2.1

使 $u_{2} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4 u_{2} + 3}{2 u_{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.2

使用 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{- \frac{2 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3

化简分子。

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解题步骤 20.2.3.1

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 20.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.2.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{1} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.2

化简。

$\frac{- \frac{2 (x + 1) - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.3

运用分配律。

$\frac{- \frac{2 x + 2 \cdot 1 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{2 x + 2 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.5

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- \frac{x + 2 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.2.3.6

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.3

合并项。

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解题步骤 20.3.1

将 $\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 20.3.2

将 $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 20.3.3

将 $2$ 移到 ${(x - 3)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.4

将 $- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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