微积分学示例

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} + \int_{1}^{8} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{8})$

解题步骤 6.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.6

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.7

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.3.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.7.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.8

一的任意次幂都为一。

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$12 - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.10

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.11

组合 $12$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.13

化简分子。

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解题步骤 6.1.3.13.1

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$\frac{48 - 3}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.13.2

从 $48$ 中减去 $3$ 。

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.1.3.14

要将 $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{45}{4} - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 6.1.3.15

组合 $- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{45}{4} + \frac{- (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.1.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{45 - (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.1.3.17

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{45 - 4 (\ln (| 8 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

解题步骤 6.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{| 8 |}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $8$ 之间的距离为 $8$ 。

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{| 1 |})}{4}$

解题步骤 6.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{45 - 4 \ln (\frac{8}{1})}{4}$

解题步骤 6.3.3

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{45 - 4 \ln (8)}{4}$

小数形式：

$9.17055845 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

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