微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - 2 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 1.1.3.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 1.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 1.1.3.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 1.1.3.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.7.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{2 \cdot 0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.7.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.7.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.7.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{3} - 2 x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $2 x^{3} + x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 4 x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 2.8

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 2.9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 2.10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 2.11

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 0 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{0 + 0 - 2}$

解题步骤 4.2.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{0 - 2}$

解题步骤 4.2.6

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{- 2}$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

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