微积分学示例

$y = \sin^{2} (\sin (π x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (\sin (π x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (\sin (π x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (\sin (π x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \sin (π x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (π x)$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (π x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $π x$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 3.2

$\sin (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\cos (u_{3})$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 3.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 4.3

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

重新排序 $2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$ 的因式。

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x) \sin (\sin (π x))$

解题步骤 5.2

将 $2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$ 和 $\sin (\sin (π x))$ 重新排序。

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x))$

解题步骤 5.3

移动括号。

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x))) \cos (π x)$

解题步骤 5.4

移动括号。

$\sin (\sin (π x)) (2 π) \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$

解题步骤 5.5

将 $\sin (\sin (π x)) (2 π)$ 和 $\cos (\sin (π x))$ 重新排序。

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) (2 π)) \cos (π x)$

解题步骤 5.6

添加圆括号。

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) \cdot 2) π \cos (π x)$

解题步骤 5.7

将 $\cos (\sin (π x))$ 和 $\sin (\sin (π x)) \cdot 2$ 重新排序。

$\sin (\sin (π x)) \cdot 2 \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

解题步骤 5.8

将 $\sin (\sin (π x))$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

解题步骤 5.9

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$

解题步骤 5.10

将 $\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$ 中的因式重新排序。

$π \sin (2 \sin (π x)) \cos (π x)$

微积分学 示例

微积分学示例