微积分学示例

${(1 + e^{x})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 1 + e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

解题步骤 4.3.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$

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