微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{3} + 2$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{3} + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{3} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{3} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = x^{3} + 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1 + 2$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = x^{3} + 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = t^{3} + 2$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

解题步骤 3.2

将 $3$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $t^{3} + 2$ 处和在 $3$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 8.2.2

要将 $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 8.2.3

组合 $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

解题步骤 8.2.4

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

解题步骤 8.2.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

解题步骤 8.2.6

将 $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ 重写为乘积形式。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 8.2.7

将 $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 8.2.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

从 $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

解题步骤 9.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

解题步骤 9.3

从 $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

解题步骤 9.4

将 $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

解题步骤 9.5

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

解题步骤 10

计算极限值。

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解题步骤 10.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

解题步骤 10.2

因为项 $\frac{1}{9}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

解题步骤 10.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.4

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t^{3} + 2}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.7

计算极限值。

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解题步骤 10.7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.7.2

化简答案。

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解题步骤 10.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.7.2.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

解题步骤 10.7.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

解题步骤 10.7.2.3

乘以 $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.7.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{9})$

解题步骤 10.7.2.3.2

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{9}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{9}$

小数形式：

$0.\overline{1}$

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