微积分学示例

$g (x) = x^{6} - 5 x^{4} + 9 x^{2} - 10$

解题步骤 1

通过计算导数 $g (x)$ 的不定积分求函数 $G (x)$ 。

$G (x) = \int g (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$G (x) = \int x^{6} - 5 x^{4} + 9 x^{2} - 10 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{6} d x + \int - 5 x^{4} d x + \int 9 x^{2} d x + \int - 10 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 5 x^{4} d x + \int 9 x^{2} d x + \int - 10 d x$

解题步骤 5

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 \int x^{4} d x + \int 9 x^{2} d x + \int - 10 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 9 x^{2} d x + \int - 10 d x$

解题步骤 7

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 9 \int x^{2} d x + \int - 10 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 10 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 10 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 10 x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 5 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 10 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{x^{7}}{7} - x^{5} + 3 x^{3} - 10 x + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{1}{7} x^{7} - x^{5} + 3 x^{3} - 10 x + C$

解题步骤 11

答案是函数 $g (x) = x^{6} - 5 x^{4} + 9 x^{2} - 10$ 的不定积分。

$G (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - x^{5} + 3 x^{3} - 10 x + C$

微积分学 示例

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