微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (- 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} - 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2.2

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (- lim_{x \to - 2} 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2.4

化简项。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (- 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.2.4.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

解题步骤 1.3.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

解题步骤 1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

解题步骤 1.3.1.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

解题步骤 1.3.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = - 1 - x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 1 - x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $- 1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{- 1 - x}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{- 1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.11.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - (x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.11.3

从 $- 1 (1) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.11.4

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - 2} \frac{- - \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.11.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{1 \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.11.6

将 $\frac{1}{1 + x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $e^{x + 2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}]$ 。

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解题步骤 3.13.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 3.13.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.1.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.13.6

将 $e^{x + 2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + 0}$

解题步骤 3.15

将 $e^{x + 2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{e^{x + 2}}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{1 + x}$ 乘以 $\frac{1}{e^{x + 2}}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{(1 + x) e^{x + 2}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 1 + x \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{(lim_{x \to - 2} 1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

解题步骤 11

将极限移入指数中。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}}$

解题步骤 13

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

解题步骤 14

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

解题步骤 14.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{- 2 + 2}}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分母。

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解题步骤 15.1.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{- 1 e^{- 2 + 2}}$

解题步骤 15.1.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{- 1 e^{0}}$

解题步骤 15.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 15.3

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- 1$

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