微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.2

将极限移入对数中。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.5

化简项。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.5.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.5.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.2.5.2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

解题步骤 1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (4 - x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.3.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{4 - x}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{3}{4 - x}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.13

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 3.14

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 3.16

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

解题步骤 3.17

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

解题步骤 6

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

解题步骤 10

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 11

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

解题步骤 12.2

化简答案。

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解题步骤 12.2.1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$- 3 (\frac{1}{1})$

解题步骤 12.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.1

约去公因数。

$- 3 (\frac{1}{1})$

解题步骤 12.2.2.2

重写表达式。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 12.2.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

微积分学 示例

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