微积分学示例

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 1 - 2$

解题步骤 1.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 1$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

解题步骤 6.2

化简。

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

解题步骤 7.3

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

解题步骤 7.4

乘以 $- \frac{1}{2} (- e)$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

解题步骤 7.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

解题步骤 7.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

解题步骤 7.5

将 $2$ 移到 $e$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

小数形式：

$1.17520119 \dots$

解题步骤 9

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