微积分学示例

$y x^{y - 1}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = x^{y - 1}$ 。

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = y - 1$ 。

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $y - 1$ 乘以 $0$ 。

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 乘以 $x^{y - 2}$ 。

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ 相加。

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.7.2

将 $x^{y - 1}$ 乘以 $1$ 。

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

解题步骤 3.9

将 $x^{y - 1}$ 乘以 $1$ 。

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

解题步骤 4.2

将 $x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ 中的因式重新排序。

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$

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