微积分学示例

$f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ 。

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 0.3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.3 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 0.3$ 。

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [80 t]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $80$ 对于 $t$ 是常数，所以 $80 t$ 对 $t$ 的导数是 $80 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.3.3

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $425$ 对于 $t$ 是常数，所以 $425$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $- 0.9 t^{2} + 80$ 和 $0$ 相加。

$- 0.9 t^{2} + 80$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 0.9 t^{2} + 80$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [80]$ 。

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 0.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (80)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 0.9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.9 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$f'' (t) = - 0.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (80)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (t) = - 0.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (80)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 0.9$ 。

$f'' (t) = - 1.8 t + \frac{d}{d t} (80)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $80$ 对于 $t$ 是常数，所以 $80$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (t) = - 1.8 t + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- 1.8 t$ 和 $0$ 相加。

$f'' (t) = - 1.8 t$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ 。

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 0.3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.3 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 0.3$ 。

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [80 t]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $80$ 对于 $t$ 是常数，所以 $80 t$ 对 $t$ 的导数是 $80 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $425$ 对于 $t$ 是常数，所以 $425$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 0.9 t^{2} + 80$ 和 $0$ 相加。

$f' (t) = - 0.9 t^{2} + 80$

解题步骤 4.2

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $- 0.9 t^{2} + 80$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 0.9 t^{2} + 80 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $80$ 。

$- 0.9 t^{2} = - 80$

解题步骤 5.3

将 $- 0.9 t^{2} = - 80$ 中的每一项除以 $- 0.9$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 0.9 t^{2} = - 80$ 中的每一项都除以 $- 0.9$ 。

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 0.9$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$t^{2} = \frac{- 80}{- 0.9}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $- 80$ 除以 $- 0.9$ 。

$t^{2} = 88.\overline{8}$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 8

计算在 $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 9

将 $- 1.8$ 乘以 $\sqrt{88.\overline{8}}$ 。

$- 16.97056274$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\sqrt{88.\overline{8}}$ 替换变量 $t$ 。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(\sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ 。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 11.2.1.2

对 $88.\overline{8}$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 0.3$ 乘以 $\sqrt{702331.96159122}$ 。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 251.41574442 + 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

解题步骤 11.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $- 251.41574442$ 和 $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ 相加。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 502.83148884 + 425$

解题步骤 11.2.2.2

将 $502.83148884$ 和 $425$ 相加。

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 927.83148884$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $927.83148884$ 。

$y = 927.83148884$

解题步骤 12

计算在 $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$

解题步骤 13

乘以 $- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$ 。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1.8$ 。

$1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

解题步骤 13.2

将 $1.8$ 乘以 $\sqrt{88.\overline{8}}$ 。

$16.97056274$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \sqrt{88.\overline{8}}$ 替换变量 $t$ 。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(- \sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- \sqrt{88.\overline{8}}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2.1.3

将 ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2.1.4

对 $88.\overline{8}$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{702331.96159122}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2.1.5

乘以 $- 0.3 (- \sqrt{702331.96159122})$ 。

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解题步骤 15.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 0.3$ 。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2.1.5.2

将 $0.3$ 乘以 $\sqrt{702331.96159122}$ 。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

解题步骤 15.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $80$ 。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 - 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

解题步骤 15.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $251.41574442$ 中减去 $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ 。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 502.83148884 + 425$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 502.83148884$ 和 $425$ 相加。

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 77.83148884$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 77.83148884$ 。

$y = - 77.83148884$

解题步骤 16

这些是 $f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ 的局部极值。

$(\sqrt{88.\overline{8}}, 927.83148884)$ 是一个局部最大值

$(- \sqrt{88.\overline{8}}, - 77.83148884)$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

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