微积分学示例

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \cos (x)$ 且 $g (x) = 1 + \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

乘。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $1 - \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

合并 $1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 7.3.1.1

从 $\cos (x) \sin (x)$ 中减去 $\cos (x) \sin (x)$ 。

$\frac{1 \sin (x) + 0 + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $1 \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 \sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.3

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

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