微积分学示例

$\int_{2}^{3} (\frac{4}{x^{2}} + 1) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} + 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int_{2}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int_{2}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \int_{2}^{3} x^{- 2} d x + \int_{2}^{3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + x]_{2}^{3}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) + x]_{2}^{3}$

解题步骤 7.2

计算 $x$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$4 (- 3^{- 1} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.3

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.4

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.3.5.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.5.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- 2 + 3}{6} + 3 - 2$

解题步骤 7.3.7

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$4 (\frac{1}{6}) + 3 - 2$

解题步骤 7.3.8

组合 $4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{4}{6} + 3 - 2$

解题步骤 7.3.9

约去 $4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{6} + 3 - 2$

解题步骤 7.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.9.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

解题步骤 7.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

解题步骤 7.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3} + 3 - 2$

解题步骤 7.3.10

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{3} + 1$

解题步骤 7.3.11

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 7.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 3}{3}$

解题步骤 7.3.13

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{3}$

小数形式：

$1.\overline{6}$

带分数形式：

$1 \frac{2}{3}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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