微积分学示例

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{3} x^{3} - 5 x d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int - 5 x d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int - 5 x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 5 x d x$

解题步骤 7

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 \int x d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} x^{4} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 9.2.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{12} x^{4} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C$

解题步骤 9.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{12} x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + C$

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