微积分学示例

$2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x e^{x} + x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x e^{x} + e^{x}) + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (x e^{x}) + 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 4.2

将 $2 x e^{x}$ 和 $e^{x} (2 x)$ 相加。

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解题步骤 4.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

解题步骤 4.2.2

将 $2 x e^{x}$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

$4 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

解题步骤 4.4

将 $4 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

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