微积分学示例

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

解题步骤 1

当 $r$ 趋于 $- \frac{3}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

解题步骤 3

当 $r$ 趋于 $- \frac{3}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

解题步骤 4

计算 $31$ 的极限值，当 $r$ 趋近于 $- \frac{3}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

解题步骤 5

因为项 $12$ 对于 $r$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $r^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

解题步骤 7

当 $r$ 趋于 $- \frac{3}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

解题步骤 8

因为项 $16$ 对于 $r$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $r^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

解题步骤 10

计算 $10$ 的极限值，当 $r$ 趋近于 $- \frac{3}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

解题步骤 11

将 $- \frac{3}{2}$ 代入所有出现 $r$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $- \frac{3}{2}$ 代入 $r$ 来计算 $r$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

解题步骤 11.2

将 $- \frac{3}{2}$ 代入 $r$ 来计算 $r$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.3

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.6.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.6.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.6.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.7

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.8

从 $31$ 中减去 $27$ 。

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.9

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

解题步骤 12.2.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

解题步骤 12.2.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

解题步骤 12.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

解题步骤 12.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

解题步骤 12.2.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $- \frac{27}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

解题步骤 12.2.5.2

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

解题步骤 12.2.5.3

约去公因数。

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

解题步骤 12.2.5.4

重写表达式。

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

解题步骤 12.2.6

将 $2$ 乘以 $- 27$ 。

$\frac{2}{- 54 + 10}$

解题步骤 12.2.7

将 $- 54$ 和 $10$ 相加。

$\frac{2}{- 44}$

解题步骤 12.3

约去 $2$ 和 $- 44$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{- 44}$

解题步骤 12.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.2.1

从 $- 44$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

解题步骤 12.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

解题步骤 12.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 22}$

解题步骤 12.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{22}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{22}$

小数形式：

$- 0.0\overline{45}$

微积分学 示例

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