微积分学示例

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}} + 9$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.8

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{3 (4 x^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.9

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 x^{\frac{1}{3}}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.10

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 x^{\frac{1}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.11

约去公因数。

$\frac{12 x^{\frac{1}{3}}}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 2.12

用 $x^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{3}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{8} x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{8} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{8} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.9

将 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{8}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.10

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.11

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{24} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{6}{24 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.13

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{6 (1)}{24 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.14

约去公因数。

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解题步骤 3.14.1

从 $24 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $6$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{6 (1)}{6 (4 x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.14.2

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{6 \cdot 1}{6 (4 x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 3.14.3

重写表达式。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}} + 0$

解题步骤 4.2

将 $x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{1}{3}}}$

微积分学 示例

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