微积分学示例

$\arcsin (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

解题步骤 1.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 1$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}}$ 乘以 $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

对 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4.2

合并 $2 x^{3} - 2 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 8.4.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{- 2 x + 0}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.4.2.2

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.5

合并项。

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解题步骤 8.5.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.6

化简分母。

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解题步骤 8.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.6.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7

化简分母。

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解题步骤 8.7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 8.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

解题步骤 8.7.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.6

重新排序项。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- x^{4} + {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7

以因式分解的形式重写 $\frac{- x^{4} + {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 8.7.7.1

将 ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ 重写为 ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- x^{4} + {((x + 1) (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- {(x^{2})}^{2} + {((x + 1) (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.3

将 $- {(x^{2})}^{2}$ 和 ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ 重新排序。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = (x + 1) (x - 1)$ 和 $b = x^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{((x + 1) (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5

化简。

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解题步骤 8.7.7.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 8.7.7.5.1.1

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.1.2

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.1.3

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.7.7.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.7.7.5.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + x - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 0 - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.3

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.4

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 8.7.7.5.4.1

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.4.2

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.4.3

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.7.7.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 8.7.7.5.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + x - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 0 - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.5.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.6

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (0 - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.7.5.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.8

将 $- 1$ 移到 $2 x^{2} - 1$ 的左侧。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- 1 \cdot (2 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.10

将 $- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot (- (2 x^{2} - 1))$ 。

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解题步骤 8.7.10.1

从 $2 x^{2} - 1$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.10.2

从 ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ 中因式分解出完全幂数 ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} \cdot 1}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} \cdot 1}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- ({(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} (2 x^{2} - 1))} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.10.4

将 $- 1$ 和 ${(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2}$ 重新排序。

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.10.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.10.6

添加圆括号。

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot (- (2 x^{2} - 1))} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.11

从根式下提出各项。

$- \frac{2 x}{\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.12

一的任意次幂都为一。

$- \frac{2 x}{\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.13

组合 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 和 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.14

合并指数。

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解题步骤 8.7.14.1

组合 $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$ 和 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.7.14.2

组合 $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ 和 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 8.7.15

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ 。

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解题步骤 8.7.15.1

从 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$- \frac{2 x}{\frac{(x + 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2})}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 8.7.15.2

约去公因数。

$- \frac{2 x}{\frac{(x + 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2})}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 8.7.15.3

重写表达式。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}}$

解题步骤 8.7.16

约去 ${(x - 1)}^{2}$ 和 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.16.1

从 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}}$

解题步骤 8.7.16.2

约去公因数。

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解题步骤 8.7.16.2.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}}$

解题步骤 8.7.16.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}}$

解题步骤 8.7.16.2.3

重写表达式。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}{1}}$

解题步骤 8.7.16.2.4

用 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 8.7.17

运用分配律。

$- \frac{2 x}{(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot 1) (x - 1)}$

解题步骤 8.7.18

将 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x}{(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}) (x - 1)}$

解题步骤 8.7.19

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}) (x - 1)$ 。

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解题步骤 8.7.19.1

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x (x - 1) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x - 1)}$

解题步骤 8.7.19.2

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x - 1)}$

解题步骤 8.7.19.3

运用分配律。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.20

合并 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 8.7.20.1

按照 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1$ 和 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x$ 重新排列因数。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x - x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} + x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.20.2

将 $- x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 和 $x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + 0 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.20.3

将 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.21

化简每一项。

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解题步骤 8.7.21.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.7.21.1.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x \cdot x) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.21.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.21.2

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 的左侧。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - 1 \cdot \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

解题步骤 8.7.21.3

将 $- 1 \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 重写为 $- \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

解题步骤 8.7.22

从 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 中分解出因数 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

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解题步骤 8.7.22.1

从 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2}$ 中分解出因数 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

解题步骤 8.7.22.2

从 $- \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 中分解出因数 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

解题步骤 8.7.22.3

从 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2} - 1)}$

解题步骤 8.7.23

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 8.7.24

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 8.8

将 $\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$ 。

$- (\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}})$

解题步骤 8.9

合并和化简分母。

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解题步骤 8.9.1

将 $\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1) \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

解题步骤 8.9.2

移动 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

解题步骤 8.9.3

对 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

解题步骤 8.9.4

对 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1})}$

解题步骤 8.9.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.9.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}}$

解题步骤 8.9.7

将 ${\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}$ 重写为 $- (2 x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 8.9.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 重写成 ${(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {({(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.9.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.9.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.9.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.9.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.9.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{1}}$

解题步骤 8.9.7.5

化简。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (- (2 x^{2} - 1))}$

解题步骤 8.10

化简分母。

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解题步骤 8.10.1

重写。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1) \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

解题步骤 8.10.2

移动 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

解题步骤 8.10.3

对 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

解题步骤 8.10.4

对 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1})}$

解题步骤 8.10.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.10.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}}$

解题步骤 8.10.7

将 ${\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}$ 重写为 $- (2 x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 8.10.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ 重写成 ${(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {({(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.10.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.10.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.10.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.10.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.10.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{1}}$

解题步骤 8.10.7.5

化简。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (- (2 x^{2} - 1))}$

解题步骤 8.10.8

去掉多余的括号。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)}$

解题步骤 8.10.9

提取负因数。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{- (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

解题步骤 8.11

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{((x + 1) (x - 1)) (2 x^{2} - 1)}$

解题步骤 8.12

乘以 $- - \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$ 。

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解题步骤 8.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

解题步骤 8.12.2

将 $\frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

微积分学 示例

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