微积分学示例

$2^{3 - \frac{x}{2}}$

解题步骤 1

将 $2^{3 - \frac{x}{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2^{3 - \frac{x}{2}} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ ，以便 $- 2 d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $3 - \frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - \frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $3 - \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 5.5

提取负因数。

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 5.6

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

解题步骤 5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $1 + u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $1 + u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 7.1.3

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 7.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 7.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 8

$2^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ 。

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

解题步骤 9

将 $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ 。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 10.1

使用 $1 + u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

解题步骤 10.2

使用 $3 - \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{x}{2}} + C$

解题步骤 11

组合 $2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{\ln (2)}$ 。

$- \frac{2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

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