微积分学示例

$y = e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = \cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ 。

$e^{t} \frac{d}{d t} [\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)] + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]$ 。

$e^{t} (\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t$ 。

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$e^{t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 3.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{t} (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$e^{t} (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4.5

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 \sin (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 t$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 5.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 5.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \cdot 1) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 6.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + \cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}$

解题步骤 8.3

合并项。

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解题步骤 8.3.1

将 $\cos (2 t)$ 和 $e^{t}$ 重新排序。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 4 \cdot e^{t} \cos (2 t) + e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

解题步骤 8.3.2

将 $4 e^{t} \cos (2 t)$ 和 $e^{t} \cos (2 t)$ 相加。

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 5 e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

解题步骤 8.3.3

移动 $\sin (2 t)$ 。

$5 e^{t} \cos (2 t) - 2 \cdot e^{t} \sin (2 t) + 2 e^{t} \sin (2 t)$

解题步骤 8.3.4

将 $- 2 e^{t} \sin (2 t)$ 和 $2 e^{t} \sin (2 t)$ 相加。

$5 e^{t} \cos (2 t) + 0$

解题步骤 8.3.5

将 $5 e^{t} \cos (2 t)$ 和 $0$ 相加。

$5 e^{t} \cos (2 t)$

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