微积分学示例

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

解题步骤 1

用 $2 x^{2} + x + 4$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x - 3$ 中的所有符号

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

解题步骤 7

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 8

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 - 1$

解题步骤 8.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 1$

解题步骤 8.5

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $3$ 处的值。

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

解题步骤 10.2

计算 $3 x$ 在 $5$ 处和在 $3$ 处的值。

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

解题步骤 10.3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.4

从 $25$ 中减去 $9$ 。

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.5

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.5.2.2

约去公因数。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.5.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.5.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.7

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.8

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.9

从 $15$ 中减去 $9$ 。

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 10.4.10

将 $16$ 和 $6$ 相加。

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 11

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

解题步骤 12.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

解题步骤 12.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$22 + 7 \ln (2)$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$22 + 7 \ln (2)$

小数形式：

$26.85203026 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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