微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 1

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 1.2

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 5) + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $x$ 和 $- 5$ 重新排序。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.8.3

将 $- 5 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.2.9

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.1.3.1.1

运用分配律。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 13 \cdot 3}$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $13$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 39}$

解题步骤 2.1.3.2

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.7

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.8

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.12

将 $x - 5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.13

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.14

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

解题步骤 2.3.15

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13 (x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $13 \frac{d}{d x} [x + 3]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.16

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

解题步骤 2.3.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

解题步骤 2.3.18

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + 0)}$

解题步骤 2.3.19

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.20

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13}$

解题步骤 3

分解分数 $\frac{2 x - 3}{13}$ 成为两个分数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{13} + \frac{- 3}{13}$

解题步骤 4

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$- \infty$

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