微积分学示例

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ 和 $x$ 。

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ 移到积分外。

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

解题步骤 4.1.2

组合 $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $θ_{2}$ 处和在 $θ_{1}$ 处的值。

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

解题步骤 4.2.2.2

合并。

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.3

运用分配律。

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.4.2

重写表达式。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ 。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.7.1

从 $- 2 {θ_{1}}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 4.2.2.7.2.4

用 $- {θ_{1}}^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = θ_{2}$ 和 $b = θ_{1}$ 。

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 5.2

约去 $θ_{2} - θ_{1}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$

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