微积分学示例

$\frac{1}{x (x + 1)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x (x + 1)}$ 重写为 ${(x (x + 1))}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x (x + 1))}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x (x + 1)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

解题步骤 2.3

使用 $x (x + 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (x + 1)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + (x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 4.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.6.1

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (x + x + 1)$

解题步骤 4.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$- {(x (x + 1))}^{- 2} (2 x + 1)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}} (2 x + 1)$

解题步骤 5.2

对 $x (x + 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$

解题步骤 5.3

重新排序 $- \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}} (2 x + 1)$ 的因式。

$- (2 x + 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.7

将 $- 2 x - 1$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.8

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.9

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.10

从 $- (2 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.11

将 $- (2 x + 1)$ 重写为 $- 1 (2 x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

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