微积分学示例

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $v$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $v$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $4$ 的极限值，当 $v$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - lim_{v \to - 3} \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $\sqrt{7}$ 的极限值，当 $v$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.6

化简项。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 3$ 代入 $v$ 来计算 $v$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{4 + 3} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.6.2

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

从 $\sqrt{7}$ 中减去 $\sqrt{7}$ 。

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $v$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + lim_{v \to - 3} 3}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $v$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{v \to - 3} v + 3}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 3$ 代入 $v$ 来计算 $v$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 + 3}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{v \to - 3} \frac{\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}}{v + 3} = lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{4 - v} - \sqrt{7}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d v} [\sqrt{4 - v}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - v}$ 重写成 ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d v} [{(4 - v)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (v) = 4 - v$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - v$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $4 - v$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [4 - v] + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $4 - v$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d v} [4] + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $4$ 对于 $v$ 是常数，所以 $4$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d v} [- v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- v$ 对 $v$ 的导数是 $- \frac{d}{d v} [v]$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d v} [v]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.13

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{1}{2} {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.15

组合 $\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{{(4 - v)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.16

将 $- 1$ 移到 ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1 \cdot {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.17

将 $- 1 {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- {(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - v)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{v \to - 3} \frac{\frac{- 1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.3.19

将负号移到分数的前面。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- \sqrt{7}$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- \sqrt{7}$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.5

将 $- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v + 3]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $v + 3$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d v} [3]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $3$ 对于 $v$ 是常数，所以 $3$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{v \to - 3} \frac{- \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 {(4 - v)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 ${(4 - v)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{4 - v}$ 。

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{v \to - 3} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $v$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{v \to - 3} \frac{1}{2 \sqrt{4 - v}}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $v$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{v \to - 3} \frac{1}{\sqrt{4 - v}}$

解题步骤 2.3

当 $v$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{v \to - 3} 1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $v$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{v \to - 3} \sqrt{4 - v}}$

解题步骤 2.5

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - v}}$

解题步骤 2.6

当 $v$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{v \to - 3} 4 - lim_{v \to - 3} v}}$

解题步骤 2.7

计算 $4$ 的极限值，当 $v$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{v \to - 3} v}}$

解题步骤 2.8

化简项。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 3$ 代入 $v$ 来计算 $v$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3}}$

解题步骤 2.8.2

化简答案。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

解题步骤 2.8.2.2

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

解题步骤 2.8.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.8.2.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 2.8.2.3.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 2.8.2.3.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 2.8.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.8.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.3.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 2.8.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.8.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.8.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.3.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.8.2.3.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 2.8.2.3.6.5

计算指数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

解题步骤 2.8.2.4

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ 。

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解题步骤 2.8.2.4.1

将 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 2}$

解题步骤 2.8.2.4.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{7}}{14}$

小数形式：

$- 0.18898223 \dots$

微积分学 示例

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