微积分学示例

$\frac{\sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

解题步骤 1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.8

合并分数。

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解题步骤 1.8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.15

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.16

化简分子。

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解题步骤 1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.19

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.20

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.20.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.20.2

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{- 1 + 1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.20.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{0}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.20.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{0}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.21

化简 $x^{0}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.22

要将 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.23

组合 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.24

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.25

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.26

约去公因数。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.27

重写表达式。

$\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.28

将 $\frac{\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.29

将 $\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30

化简。

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解题步骤 1.30.1

运用分配律。

$\frac{1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.2

化简分子。

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解题步骤 1.30.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.30.2.1.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.2.1.2

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.30.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.2.2

合并 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.30.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.3

合并项。

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解题步骤 1.30.3.1

将 $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.30.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 1.30.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}])$

解题步骤 2.3

合并分数。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ 。

$- \frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5.3

使用 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

根据加法法则， $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.6.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.6.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11

化简项。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.3

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.4

化简表达式。

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解题步骤 2.11.4.1

将 $2$ 移到 $x^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.5

约去公因数。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.6

重写表达式。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.7

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.8

约去公因数。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.9

化简。

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解题步骤 2.11.9.1

重写表达式。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.11.9.2

将 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 2.14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.15

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.16

化简分子。

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解题步骤 2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 2.16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 2.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.19

组合 ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.20

化简。

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解题步骤 2.20.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.20.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.21

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22

化简。

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解题步骤 2.22.1

对 $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{2 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.2

合并项。

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解题步骤 2.22.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.22.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.22.2.1.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.2.1.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2 (x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.2.2

化简。

$- \frac{1}{2 (x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.2.3

将 ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.22.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

$- \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.22.3

重新排序 $- \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 的因式。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4

化简分子。

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解题步骤 2.22.4.1

将 ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 重写为 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.22.4.2.1

运用分配律。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.2.2

运用分配律。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.2.3

运用分配律。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.22.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.22.4.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.22.4.3.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.4.2

在公分母上合并分子。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.4.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.1.5

化简 $x^{1}$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.3.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.4

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.4.5

重新排序项。

$- (x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.5

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.6

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8

化简分子。

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解题步骤 2.22.8.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.22.8.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.3

化简 $2 x^{1}$ 。

$- \frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.4

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5

以因式分解的形式重写 $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ 。

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解题步骤 2.22.8.5.1

将 $x$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$- \frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.2

使 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3

分组因式分解。

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解题步骤 2.22.8.5.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 2.22.8.5.3.1.1

从 $4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3.1.2

把 $4$ 重写为 $1$ 加 $3$

$- \frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3.1.3

运用分配律。

$- \frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.22.8.5.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- \frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- \frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.3.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$- \frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.8.5.4

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.9

乘以 $- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$ 。

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解题步骤 2.22.9.1

将 $\frac{1}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$ 乘以 $\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.22.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.22.9.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.22.9.3.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.9.3.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.22.9.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.9.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.9.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.9.3.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.9.3.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 2.22.10

重新排序项。

$- \frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.22.11

从 $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 。

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.22.12

约去公因数。

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解题步骤 2.22.12.1

从 $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ 。

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

解题步骤 2.22.12.2

约去公因数。

$- \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

解题步骤 2.22.12.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

微积分学 示例

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