微积分学示例

$f (x) = 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 \sqrt[4]{x} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \sqrt[4]{x} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ 。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{4}}$ 。

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 10

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$5 (\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C) - 3 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 11

化简。

$4 x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln (| x |) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 5 \sqrt[4]{x} - \frac{3}{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 3 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例