微积分学示例

$\ln (x^{2} + y^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} + y^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x + 0)$

解题步骤 2.6

合并分数。

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解题步骤 2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} (2 x)$

解题步骤 2.6.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ 。

$\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1} x$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{2}{x^{2} + y^{2} + 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}$

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