微积分学示例

lim x \to 0 {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{tan (x)}}

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将

tan (x)

$\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

lim x \to 0 {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{sin (x)}{cos (x)}}}

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

lim x \to 0 {(e^{x} - x)}^{\frac{cos (x)}{sin (x)}}

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.3

将

\frac{cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成

cot (x)

$\cot (x)$ 。

lim x \to 0 {(e^{x} - x)}^{cot (x)}

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

lim x \to 0 {(e^{x} - x)}^{cot (x)}

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将

{(e^{x} - x)}^{cot (x)}

${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ 重写为

e^{ln ({(e^{x} - x)}^{cot (x)})}

$e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ 。

lim x \to 0 e^{ln ({(e^{x} - x)}^{cot (x)})}

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

解题步骤 2.2

通过将

cot (x)

$\cot (x)$ 移到对数外来展开

ln ({(e^{x} - x)}^{cot (x)})

$\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ 。

lim x \to 0 e^{cot (x) ln (e^{x} - x)}

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

lim x \to 0 e^{cot (x) ln (e^{x} - x)}

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

e^{lim x \to 0 cot (x) ln (e^{x} - x)}

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

解题步骤 4

考虑左极限。

lim x \to 0^{-} cot (x) ln (e^{x} - x)

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数

cot (x) ln (e^{x} - x)

$\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在

x

$x$ 从左边趋于

0

$0$ 时的趋势。

\begin{matrix} x & cot (x) ln (e^{x} - x) - 0.1 & - 0.04809658 - 0.01 & - 0.00498308 - 0.001 & - 0.00049983 - 0.0001 & - 0.00004999 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

解题步骤 6

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，函数值趋于

0

$0$ 。因此，

cot (x) ln (e^{x} - x)

$\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在

x

$x$ 从左边趋于

0

$0$ 时的极限为

0

$0$ 。

0

$0$

解题步骤 7

考虑右极限。

lim x \to 0^{+} cot (x) ln (e^{x} - x)

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数

cot (x) ln (e^{x} - x)

$\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在

x

$x$ 从右边趋于

0

$0$ 时的趋势。

\begin{matrix} x & cot (x) ln (e^{x} - x) 0.1 & 0.05140391 0.01 & 0.00501641 0.001 & 0.00050016 0.0001 & 0.00005 0.00001 & 0.000005 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

解题步骤 9

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，函数值趋于

0

$0$ 。因此，

cot (x) ln (e^{x} - x)

$\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在

x

$x$ 从右边趋于

0

$0$ 时的极限为

0

$0$ 。

e^{0}

$e^{0}$

解题步骤 10

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

1

$1$

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