微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

解题步骤 2.2

通过将 $\cot (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

解题步骤 4

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 7

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数 $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 10

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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