微积分学示例

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + x$ 。然后使 $d u = (2 x + 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

解题步骤 2

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u}]_{0}^{2}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $e^{u}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{2}) - e^{0}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{2} - 1$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{2} - 1$

小数形式：

$6.38905609 \dots$

解题步骤 5

微积分学 示例

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