微积分学示例

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} + \frac{x}{3 x - 4}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{2}{x - 8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{x}{3 x - 4}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.2

要将 $\frac{x}{3 x - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 8}{x - 8}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2}{x - 8} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{x}{3 x - 4} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 8) (3 x - 4)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{2}{x - 8}$ 乘以 $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(x - 8) (3 x - 4)} + \frac{x}{3 x - 4} \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{3 x - 4}$ 乘以 $\frac{x - 8}{x - 8}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(x - 8) (3 x - 4)} + \frac{x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x - 8) (3 x - 4)$ 的因式。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4)}{(3 x - 4) (x - 8)} + \frac{x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.5

要将 $\frac{x}{2 x - 16}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{1}{3 x - 4}}$

解题步骤 1.6

要将 $\frac{1}{3 x - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x - 16}{2 x - 16}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x}{2 x - 16} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} + \frac{1}{3 x - 4} \cdot \frac{2 x - 16}{2 x - 16}}$

解题步骤 1.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x - 16) (3 x - 4)$ 的形式。

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解题步骤 1.7.1

将 $\frac{x}{2 x - 16}$ 乘以 $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{1}{3 x - 4} \cdot \frac{2 x - 16}{2 x - 16}}$

解题步骤 1.7.2

将 $\frac{1}{3 x - 4}$ 乘以 $\frac{2 x - 16}{2 x - 16}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{2 x - 16}{(3 x - 4) (2 x - 16)}}$

解题步骤 1.7.3

重新排序 $(3 x - 4) (2 x - 16)$ 的因式。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4)}{(2 x - 16) (3 x - 4)} + \frac{2 x - 16}{(2 x - 16) (3 x - 4)}}$

解题步骤 1.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}}{\frac{x (3 x - 4) + 2 x - 16}{(2 x - 16) (3 x - 4)}}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)} \cdot \frac{(2 x - 16) (3 x - 4)}{x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2 (3 x - 4) + x (x - 8)}{(3 x - 4) (x - 8)}$ 乘以 $\frac{(2 x - 16) (3 x - 4)}{x (3 x - 4) + 2 x - 16}$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) ((2 x - 16) (3 x - 4))}{(3 x - 4) (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 2.3

约去 $3 x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) ((2 x - 16) (3 x - 4))}{(3 x - 4) (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 2} (2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 (3 x - 4) + x (x - 8) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.2

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{x \to - 2} 2 (3 x - 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(2 lim_{x \to - 2} 3 x - 4 + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.4

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(2 (lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x (x - 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.7

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot lim_{x \to - 2} x - 8) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.8

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.9

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot lim_{x \to - 2} 2 x - 16}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.10

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.11

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.12

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{(2 (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.13

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.13.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.13.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.13.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.13.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{(2 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.14.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.14.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.14.1.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(2 (- 6 - 1 \cdot 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(2 (- 6 - 4) - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.1.2

从 $- 6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{(2 \cdot - 10 - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.1.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{(- 20 - 2 \cdot (- 2 - 1 \cdot 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(- 20 - 2 \cdot (- 2 - 8)) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.1.5

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$\frac{(- 20 - 2 \cdot - 10) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{(- 20 + 20) \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.2

将 $- 20$ 和 $20$ 相加。

$\frac{0 \cdot (2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.3

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.14.3.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0 \cdot (- 4 - 1 \cdot 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.3.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{0 \cdot (- 4 - 16)}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.4

从 $- 4$ 中减去 $16$ 。

$\frac{0 \cdot - 20}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.2.14.5

将 $0$ 乘以 $- 20$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} (x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x - 8 \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8) \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + 2 x - 16}$

解题步骤 3.1.3.4

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x (3 x - 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

解题步骤 3.1.3.5

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot lim_{x \to - 2} 3 x - 4 + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

解题步骤 3.1.3.6

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

解题步骤 3.1.3.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

解题步骤 3.1.3.8

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 16)}$

解题步骤 3.1.3.9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 16)}$

解题步骤 3.1.3.10

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.11

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.11.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to - 2} x \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.11.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.11.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.11.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{(- 2 - 1 \cdot 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{0}{(- 2 - 8) \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.2

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (3 \cdot - 2 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.3

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.12.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.12.3.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (- 6 - 1 \cdot 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot (- 6 - 4) + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.3.2

从 $- 6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (- 2 \cdot - 10 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 + 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 - 4 - 1 \cdot 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.3.5

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (20 - 4 - 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.4

从 $20$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot (16 - 16)}$

解题步骤 3.1.3.12.5

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{0}{- 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.12.6

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.12.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.13

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 2} \frac{(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)}{(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x - 4) + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(2 (3 x) + 2 \cdot - 4 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x + 2 \cdot - 4 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x (x - 8)) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.2.4

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x \cdot x + x \cdot - 8) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.2.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x^{2} + x \cdot - 8) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.2.6

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(6 x - 8 + x^{2} - 8 x) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.3

从 $6 x$ 中减去 $8 x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 x - 16)]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 2 x - 8 + x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x - 16$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 16] + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.5

根据加法法则， $2 x - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) (2 + 0) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{(- 2 x - 8 + x^{2}) \cdot 2 + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.11

将 $2$ 移到 $- 2 x - 8 + x^{2}$ 的左侧。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 \cdot (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) \frac{d}{d x} [- 2 x - 8 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.12

根据加法法则， $- 2 x - 8 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.13

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.15

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.16

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.17

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x - 8 + x^{2}) + (2 x - 16) (- 2 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19

化简。

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解题步骤 3.3.19.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + (2 x - 16) (- 2 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + (2 x - 16) \cdot - 2 + (2 x - 16) (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + (2 x - 16) (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.4

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5

合并项。

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解题步骤 3.3.19.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x + 2 \cdot - 8 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x - 16 \cdot - 2 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.4

将 $- 16$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 2 x (2 x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x \cdot x - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 (x^{1} x) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 (x^{1} x^{1}) - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{1 + 1} - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{2} - 16 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.10

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 4 x + 32 + 4 x^{2} - 32 x}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.11

从 $- 4 x$ 中减去 $32 x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 x - 16 + 2 x^{2} - 36 x + 32 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.12

从 $- 4 x$ 中减去 $36 x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x - 16 + 2 x^{2} + 32 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.13

将 $- 16$ 和 $32$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x + 2 x^{2} + 16 + 4 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.5.14

将 $2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{- 40 x + 6 x^{2} + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.19.6

重新排序项。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x - 4) + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.20

化简每一项。

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解题步骤 3.3.20.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (x (3 x) + x \cdot - 4 + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.20.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.20.3

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x \cdot x - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.20.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.20.4.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 (x \cdot x) - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.20.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 4 \cdot x + 2 x - 16)]}$

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 4 x + 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.21

将 $- 4 x$ 和 $2 x$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{\frac{d}{d x} [(x - 8) (3 x^{2} - 2 x - 16)]}$

解题步骤 3.3.22

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 8$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 2 x - 16$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 16] + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.23

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 x - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.24

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.25

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.26

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.27

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.28

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.29

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 16]) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.30

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2 + 0) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.31

将 $6 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \frac{d}{d x} [x - 8]}$

解题步骤 3.3.32

根据加法法则， $x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

解题步骤 3.3.33

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

解题步骤 3.3.34

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) (1 + 0)}$

解题步骤 3.3.35

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x - 16) \cdot 1}$

解题步骤 3.3.36

将 $3 x^{2} - 2 x - 16$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x - 2) + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37

化简。

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解题步骤 3.3.37.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{(x - 8) (6 x) + (x - 8) \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{x (6 x) - 8 (6 x) + (x - 8) \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{x (6 x) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4

合并项。

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解题步骤 3.3.37.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 (x^{1} x) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 (x^{1} x^{1}) - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{1 + 1} - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 8 (6 x) + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.5

将 $6$ 乘以 $- 8$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x + x \cdot - 2 - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.6

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x - 2 \cdot x - 8 \cdot - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.7

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 48 x - 2 x + 16 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.8

从 $- 48 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{6 x^{2} - 50 x + 16 + 3 x^{2} - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.9

将 $6 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 50 x + 16 - 2 x - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.10

从 $- 50 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x + 16 - 16}$

解题步骤 3.3.37.4.11

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x + 0}$

解题步骤 3.3.37.4.12

将 $9 x^{2} - 52 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 2} \frac{6 x^{2} - 40 x + 16}{9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} - 40 x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 2} 6 x^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 40 x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4.5

因为项 $40$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4.6

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 2$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - 52 x}$

解题步骤 4.7

当 $x$ 趋于 $- 2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{lim_{x \to - 2} 9 x^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

解题步骤 4.8

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

解题步骤 4.9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 52 x}$

解题步骤 4.10

因为项 $52$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 5

将 $- 2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 lim_{x \to - 2} x + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 5.2

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 5.3

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 lim_{x \to - 2} x}$

解题步骤 5.4

将 $- 2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(- 2)}^{2} - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 \cdot 4 - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.1.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 - 40 \cdot - 2 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 40$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{24 + 80 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.1.4

将 $24$ 和 $80$ 相加。

$\frac{104 + 16}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.1.5

将 $104$ 和 $16$ 相加。

$\frac{120}{9 {(- 2)}^{2} - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{120}{9 \cdot 4 - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.2.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{120}{36 - 52 \cdot - 2}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 52$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{120}{36 + 104}$

解题步骤 6.2.4

将 $36$ 和 $104$ 相加。

$\frac{120}{140}$

解题步骤 6.3

约去 $120$ 和 $140$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $120$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (6)}{140}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $140$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 \cdot 6}{20 \cdot 7}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{20 \cdot 6}{20 \cdot 7}$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{7}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{6}{7}$

小数形式：

$0.\overline{857142}$

微积分学 示例

微积分学示例