微积分学示例

$\sqrt{x} \cdot \ln (x)$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x} \cdot \ln (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x} \cdot \ln (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{1}$ 移动到分子。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

解题步骤 7.3

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 7.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

解题步骤 7.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

解题步骤 7.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

解题步骤 7.3.5

化简分子。

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解题步骤 7.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

解题步骤 7.3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{2 \ln (x)}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

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