微积分学示例

$\frac{1 - 2 x}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - 2 x$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.2

将 $- 2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2 \cdot x^{2} - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - (1 - 2 x) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 (1 - 2 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 2 x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- 2 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 (x \cdot x))}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 2 (- 2 x^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 3.4

从 $2 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x) - 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 3.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x) + 2 x (- 1)}{x^{4}}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 x (x) + 2 x (- 1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x - 1)}{x^{4}}$

解题步骤 3.5

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $2 x (x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 (x - 1))}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x (2 (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 (x - 1)}{x^{3}}$

微积分学 示例

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