微积分学示例

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 10

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

代入并化简。

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解题步骤 11.1.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

解题步骤 11.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3

化简。

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解题步骤 11.1.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.3.3.1

约去公因数。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.3.2

重写表达式。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.6

一的任意次幂都为一。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.8

在公分母上合并分子。

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.9

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{14}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.11

将 $3$ 乘以 $14$ 。

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.12

约去 $42$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.3.12.1

从 $42$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 11.1.3.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3.12.2.4

用 $14$ 除以 $1$ 。

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

解题步骤 11.3.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$14 - 2 \ln (4)$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$14 - 2 \ln (2^{2})$

解题步骤 12.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$14 - 2 (2 \ln (2))$

解题步骤 12.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$14 - 4 \ln (2)$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$14 - 4 \ln (2)$

小数形式：

$11.22741127 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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