微积分学示例

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (\frac{x}{2})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ 。

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.2.2

重写表达式。

$1 {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.3

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $\sin (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$

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