微积分学示例

$\int {(1 - x - y)}^{2} d y$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x - y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 - x - y]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 - 1$

解题步骤 1.1.4

合并项。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - u^{2} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 4

将 $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ 。

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 5

使用 $1 - x - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} {(1 - x - y)}^{3} + C$

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