微积分学示例

$\ln (3 x) e^{5 x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (3 x)$ 且 $g (x) = e^{5 x}$ 。

$\ln (3 x) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$\ln (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\ln (3 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (3 x) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3 x) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 3.3.2

将 $5$ 移到 $e^{5 x}$ 的左侧。

$\ln (3 x) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 4.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

化简项。

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解题步骤 5.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{e^{5 x}}{3 x}$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

约去公因数。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3.2.2

重写表达式。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \cdot 1$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{e^{5 x}}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x}$

解题步骤 5.5.2

重新排序项。

$5 e^{5 x} \ln (3 x) + \frac{e^{5 x}}{x}$

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