微积分学示例

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (t)$ 的不定积分求函数 $F (t)$ 。

$F (t) = \int f (t) d t$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 5

通过将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

解题步骤 6

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.6

在公分母上合并分子。

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.7

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 7.9

在公分母上合并分子。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

解题步骤 7.10

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{2}} d t$

解题步骤 7.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

解题步骤 7.11.2

约去公因数。

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解题步骤 7.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

解题步骤 7.11.2.2

约去公因数。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

解题步骤 7.11.2.3

重写表达式。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{1}} d t$

解题步骤 7.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{0} d t$

解题步骤 7.12

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 1 d t$

解题步骤 7.13

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

解题步骤 10

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

解题步骤 11

由于 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

解题步骤 12

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 d t$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

解题步骤 14.2

化简。

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

解题步骤 14.3

重新排序项。

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ 的不定积分。

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

微积分学 示例

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