微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} π x)}$

解题步骤 1.3.1.2

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (π \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{\sin (π)}$

解题步骤 1.3.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.3.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 3.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $π x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

解题步骤 3.6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

解题步骤 3.6.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

解题步骤 3.7

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

解题步骤 3.9

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) π}$

解题步骤 3.10

重新排序 $\cos (π x) π$ 的因式。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{π \cos (π x)}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{2}{π}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{π} lim_{x \to 1} \frac{x}{\cos (π x)}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (lim_{x \to 1} π x)}$

解题步骤 7

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 8

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 8.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$ 转换成 $\sec (π \cdot 1)$ 。

$\frac{2}{π} \sec (π \cdot 1)$

解题步骤 9.2

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{π} \sec (π)$

解题步骤 9.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{2}{π} (- \sec (0))$

解题步骤 9.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{π} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{π} \cdot - 1$

解题步骤 9.6

乘以 $\frac{2}{π} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 9.6.1

组合 $\frac{2}{π}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{π}$

解题步骤 9.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{π}$

解题步骤 9.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{π}$

微积分学 示例

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