微积分学示例

$h (x) = {\begin{cases} x^{2} + k^{2}, 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{2 x + 4}{x - 1}, x > 2 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从右侧趋于 $2$ 时，求 $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ 的极限。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将左右极限改为右极限。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 x + 4}{x - 1}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

解题步骤 1.3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 2 x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

解题步骤 1.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + lim_{x \to 2^{+}} 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

解题步骤 1.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1}$

解题步骤 1.6

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 1}$

解题步骤 1.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to 2^{+}} x + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.8

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.8.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 2 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.9

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.9.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.9.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 + 4}{2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.9.1.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{8}{2 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.9.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{2 - 1}$

解题步骤 1.9.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{8}{1}$

解题步骤 1.9.3

用 $8$ 除以 $1$ 。

$8$

解题步骤 2

计算 $x^{2} + k^{2}$ 在 $2$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

${(2)}^{2} + k^{2}$

解题步骤 2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 + k^{2}$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从右侧趋于 $2$ 时， $\frac{2 x + 4}{x - 1}$ 的极限不等于 $x = 2$ 处的函数值，因此该函数在 $x = 2$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例