微积分学示例

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x - x^{2}}$ 重写成 ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 x - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 x - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 1.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 1.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

解题步骤 1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x))$

解题步骤 1.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x)$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ 的因式。

$f' (x) = (2 - 2 x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.15.2

将 $2 - 2 x$ 乘以 $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.5

从 $2 (1) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.6

约去公因数。

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解题步骤 1.15.6.1

从 $2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.15.6.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.6.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{1 - x}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - x$ 且 $g (x) = {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.6

化简表达式。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2

将 $- 1$ 移到 ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.4.6.3

将 $- 1 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 x - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x - x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.5.3

使用 $2 x - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.10

合并分数。

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解题步骤 2.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.11

根据加法法则， $2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.12

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.14

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x)))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.17

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18

化简。

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解题步骤 2.18.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 + x) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2

化简分子。

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解题步骤 2.18.2.1

使 $u_{2} = {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{u_{2}}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{u_{2}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.2

使用 ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3

化简分子。

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解题步骤 2.18.2.3.1

将 ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.18.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.18.2.3.1.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- \frac{(2 x - x^{2}) + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.2

化简。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.3

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{- x^{2} + x^{2} + 0 + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.4

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 0 + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.2.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.3

合并项。

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解题步骤 2.18.3.1

将 $\frac{- \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - x^{2}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - x^{2}}$

解题步骤 2.18.3.2

将 $\frac{1}{2 x - x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{(2 x - x^{2}) {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.18.3.3

通过指数相加将 $2 x - x^{2}$ 乘以 ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.18.3.3.1

将 $2 x - x^{2}$ 乘以 ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.18.3.3.1.1

对 $2 x - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{1}{(2 x - x^{2}) {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.18.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.18.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.18.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.18.3.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例