微积分学示例

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.1.2

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.1.3

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.1.4

从 $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.1.5

从 $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 6

展开 $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.5

化简。

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.9

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.10

移动 $4$ 。

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

解题步骤 13.2

化简。

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

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