微积分学示例

$y = \tan (x \sin (x))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x \sin (x)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x \sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

解题步骤 3.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x)) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

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