微积分学示例

$| x - 1 |$

解题步骤 1

将绝对值中的自变量设为等于 $0$ ，以求潜在的用以分割解的区间的数值。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

求解 $x$ 的方程。

$x = 1$

解题步骤 2.2

在解周围创建区间，从而求 $x - 1$ 为正和负的位置。

$(- \infty, 1), (1, \infty)$

解题步骤 2.3

将每个区间中的一个值代入 $x - 1$ 以得出表达式何处为正，何处为负。

$\begin{array}{c} 区间 & 区间上的符号 \\ (- \infty, 1) & - \\ (1, \infty) & + \end{array}$

解题步骤 2.4

求绝对值函数自变量的积分。

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解题步骤 2.4.1

用带绝对值的自变量建立积分。

$\int x - 1 d x$

解题步骤 2.4.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.4.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

解题步骤 2.4.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

解题步骤 2.4.5

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} - x + C$

解题步骤 2.5

在自变量为负的区间，将积分的解与 $- 1$ 相乘。

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} - x + C) & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x + C & x > 1 \end{cases}$

解题步骤 2.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} - x + C) & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x + C & x > 1 \end{cases}$

解题步骤 2.7

化简。

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} + x & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x & x > 1 \end{cases} + C$

解题步骤 2.8

化简。

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} + x & x \leq 1 \\ \frac{1}{2} x^{2} - x & x > 1 \end{cases} + C$

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