微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.3.2

将极限移入指数中。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.3.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.3.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.7.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.3.7.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

解题步骤 3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $e^{4 x} - 4 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6.5

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.7.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

解题步骤 3.9

将 $4 e^{4 x} - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

约去 $8$ 和 $4 e^{4 x} - 4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $4 e^{4 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

解题步骤 4.1.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

解题步骤 4.1.2.3

从 $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

解题步骤 4.1.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

解题步骤 4.1.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

解题步骤 4.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 5.1.3.1.2

将极限移入指数中。

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 5.1.3.1.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 5.1.3.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 5.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.3.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 5.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

解题步骤 5.3.3

根据加法法则， $e^{4 x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.4.5

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 5.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

解题步骤 5.3.6

将 $4 e^{4 x}$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

解题步骤 6.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

解题步骤 6.4

将极限移入指数中。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

解题步骤 6.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.2

约去公因数。

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

解题步骤 8.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

解题步骤 8.2

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

解题步骤 8.4

化简分母。

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解题步骤 8.4.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2 e^{0}}$

解题步骤 8.4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

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