微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{4 (x + 3)}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 3 x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.4

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- 3)}^{2} + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.5.1.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.2.5.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

解题步骤 2.1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- 3 + 3}$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 3 x}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

解题步骤 2.3.5

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 2.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1 + 0}$

解题步骤 2.3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 3}{1}$

解题步骤 2.4

用 $2 x + 3$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 3} 2 x + 3$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 3)$

解题步骤 3.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3)$

解题步骤 3.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} (2 lim_{x \to - 3} x + 3)$

解题步骤 4

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} (2 \cdot - 3 + 3)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{1}{4} (- 6 + 3)$

解题步骤 5.2

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot - 3$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{4}$

解题步骤 5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3}{4}$

小数形式：

$- 0.75$

微积分学 示例

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