微积分学示例

$f (x) = \frac{9}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{9}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{9}{\cos^{2} (x)} d x + \int - 3 \sin (x) d x$

解题步骤 4

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x + \int - 3 \sin (x) d x$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$9 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sin (x) d x$

解题步骤 6

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$9 (\tan (x) + C) + \int - 3 \sin (x) d x$

解题步骤 7

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$9 (\tan (x) + C) - 3 \int \sin (x) d x$

解题步骤 8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$9 (\tan (x) + C) - 3 (- \cos (x) + C)$

解题步骤 9

化简。

$9 \tan (x) + 3 \cos (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{9}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $9 \tan (x) + 3 \cos (x) + C$

微积分学 示例