微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

解题步骤 3

使 $u = 42 - 3 x$ 。然后使 $d u = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

设 $u = 42 - 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对 $42 - 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $42 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $42$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 3 \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 - 3$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

解题步骤 4.3

将 $3$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 7.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 7.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 7.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10

使用 $42 - 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例