微积分学示例

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 1

分解分数 $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ 成为两个分数。

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 4

使 $u = x^{2} + 9$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x^{2} + 9$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x^{2} + 9$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 4.1.4

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 7.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 9

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $x^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

解题步骤 10.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 11

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ 。

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{x}{3})$ 。

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

解题步骤 13

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$

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